摺紙學數學

這一專欄的開闢，當然源自本館對於「數學遊戲」的一貫興趣與關懷。因此，本專欄資料除了中學教師（如本館管理員與策展員彭良禎老師）的摺紙實作經驗分享之外，也提供一些（歷史）反思性 (historical reflection) 的論述，譬如摺紙與尺規作圖等問題，以便讓讀者體會這種知識活動，絕對不只是一種幼稚園或國小層次的美勞或遊藝而已。事實上，如果大家有機會欣賞英國數學家楊氏伉儷檔 (Grace Chisholm Young & W. H. Young) 的百年前經典作 Beginner’s Book of Geometry (1905)，就一定會同意摺紙學數學原來也可以登大雅之堂！再如2010年5月出版的 Notices of the AMS（美國數學學會刊物）中，就有一篇論文 “Origami and Partial Differential Equations” (摺紙與PDE) (作者：Bernard Dacorogna, Paolo Marcellini, and Emanuele Paolini)，提供摺紙的一種新的數學模型，一方面，建立一道解析進路，藉以觀察已經存在的代數和幾何模型，另一方面，則是將摺紙當作一種工具，用以展示某些偏微分方程組的顯著解 (explicit solution)。 

本專欄絕誠歡迎讀者與我們分享摺紙的經驗與美學，如果能夠說明相關或對應的數學意義，當然更是善莫大焉了。我們希望所有這些成果，都有機會利用平面印刷的方式發行，發揮更大的娛樂與學習價值與作用。

標題	日期		作者
「摺紙」：沒有算式的數學	2010/6/3	數學的本質究竟為何，難一言以蔽之。但以其形成脈絡而言，數學可以說就是利用符號與運算的外顯操作 (extrinsic implementation)，並藉助歸納、邏輯等內在思維(intrinsic thought) 以探究「數」、「量」、「形」與「空間」等模式的一套系統知識。而摺紙這門傳統手工技藝雖能展現「形」與「空間」的模式，但既缺乏探究數量關係的基礎，也無符號運算的操作過程，如何登上數學這座嚴謹的學術殿堂？不過，隨著近年對於「摺紙數學」的研究熱潮，摺紙已逐漸從工藝層面解放出來，開始展現其跨界的企圖。而要瞭解摺紙的數學內涵，我們就得先從古希臘三大幾何作圖難題談起。	劉柏宏	下載
阿拉伯的正七邊形作圖	2010/6/3	阿拉伯人原本只是游牧民族，在現今的阿拉伯世界裡逐水草而居。後來在穆罕默德的領導下振作並完成統一，並在他死後百年之內征服了東至印度，西至西班牙，包括北非和南義大利的版圖。公元755年時，阿拉伯帝國分裂成兩個獨立的王國，東部以巴格達為首都，西部以西班牙的哥多華為首都。征服的工作完成以後，這些典型的游牧民族就安頓下來，並建立他們的文化。他們很快就對藝術和科學發生興趣，東西兩個王國的首都吸引了許多科學家。他們的研究也受到支持。阿拉伯人很大方地容納各種民族和教派，異教徒也能自由活動，阿拉伯人相信這些只是宗教意識的不同。總而言之，阿拉伯人的知識是直接得自希臘手稿或敘利亞文和希伯來文版本，且各種主要的數學知識他們都能接觸到。	葉吉海	下載
運用摺紙提升學生尺規作圖技巧	2010/6/3	眾所周知，一般學生最懼怕的學科是數學，而在數學科眾多的主題之中，很多學生最怕的是幾何，尤其是幾何證明和尺規作圖這兩個主題。近年來，數學教育工作者對幾何證明投入了不少關注，包括了學生對作出幾何證明或閱讀理解幾何證明的困難等方面，都有不少相關研究。然而，數學教育界對尺規作圖方面的研究，可說是相形見少的。相較之下，這方面的論著並不多，我們對學生學習尺規作圖的困難知之不詳。	譚克平、陳宥良	下載
尺規作圖：正3、4、5、6、15邊形	2010/6/3	有關尺規作圖之教學，顯然由於題目太難，因此，目前已經再不是中學數學課程與教學的重點了。其實，對於比較優秀的學生（甚至那些將來可能成為中小學教師者）而言，這種學習活動所需要的解析 (analysis) vs. 綜合 (synthesis) 之能力，實在是數學經驗的極珍貴部分，非常值得適度地納入中小學數學教師的訓練教材，即使對於百分之八十的中學生而言，尺規作圖的確是太沈重了一些。目前的教材教法，主要強調直觀的進路與說明。	洪萬生	下載
從歐幾里得到高斯：傳承2000年的正多邊形宴席料理	2010/6/3	「不懂幾何者，不准進入柏拉圖的學園。」(Let no one ignorant of geometry enter here!) 正是幾何學 (數學) 的力量，幫助我們的靈魂昇華，不受事物表象所矇蔽，跳脫變化無常的幻海，進入理想世界，看清不變的本質與真理。正是數學知識的確定性，使得數學家們不斷地開疆闢土、創新扉頁之際，2000多年來數學巨塔依然屹立不墜。正是數學知識的應用性和數學家的洞見與連結，看似乾涸枯竭的絕望之後，總是蘊藏著新的泉源、新的礦脈。	黃俊瑋	下載
三大作圖題	2010/6/2	平面幾何作圖中，有很大一部份是尺規作圖。所謂的尺規作圖，即是限制只能使用沒有記號的直尺和圓規，在紙上連續作出曲線。在國中所教授的平面幾何中，尺規作圖是其中的一個單元，但是，在學習的過程中，學生對尺規作圖的瞭解、重要性或是趣味性，可能都是一知半解，或毫無體會。筆者曾問班上的高二學生，為何倍立方問題沒有辦法用尺規作圖解決？學生的回答居然是「當時沒有圓規」！當然他們對尺規作圖的限制也不是很清楚。這一篇文章，想要從尺規作圖的限制談起，看看古典希臘時期研究數學的學者，在那樣的由文化所自然而然形成的條件下，對三大作圖的解決所做的努力，從中一窺數學在條件限制下的解題樂趣，並提供教學上的一盞探照燈，照出一條不一樣的教學路徑。	蘇惠玉	下載
《摺摺稱奇》主編序	2011/9/1	本文集絕大份文章都出自台灣數學博物館所舉辦的「摺紙學數學」工作坊。而這，當然也積極呼應了我們對「數學遊戲」的一貫興趣與關懷。不過，本書之編輯，卻見證了國際數學社群與國內藝術社群的兩件事：在數學研究這一方面，摺紙數學已經逐漸受到數學界的重視，譬如 “Origami and Partial Differential Equations”（〈摺紙與偏微分方程〉，2010年5月出版）這樣的論文，會出現在美國數學學會刊物Notices of the AMS上，就非常令人驚奇。另一方面，國內各教育大學最近重新定位美勞教育，強調視覺藝術或造形設計人才的培育，而不再只是著眼於國小相關美勞師資之培育。我們有幸「風雲際會」，此時將有關摺紙的一些實作與論述，集結成為本書，用以彰顯此一數學遊藝的認知趣味與意義，或許也不只是巧合而已。	洪萬生	下載
芳賀和夫的摺紙科學與藝術	2012/3/17	芳賀和夫（筑坡大學教授）原是生物學家，他在記錄顯微鏡下的圖像時，發現摺紙十分方便而有用，遂結合日本傳統的摺紙藝道，而發展出這一套他所謂的摺紙科學（origamics）。在本書中，作者所提及的芳賀定理（共有三個）是日本摺紙界為了推崇他的貢獻而命名，但也足以見證摺紙在芳賀和夫手上，從遊戲演發展成為一門科學的歷程。	洪萬生、黃俊瑋	下載